Question

3．设函数f（x）=x²（0≤x≤1），记H（a，b）为函数f（x）图象上点到直线y=ax+b距离的最大值，则H（a，b）的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{16}$．

Answer 1

分析 如图所示，我们研究平行直线系与函数f（x）=x²（0≤x≤1）图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线l₁与l₂之间，图象上的个别点在直线上．
设两条平行直线l₁与l₂之间的距离为d．我们发现只有l₁经过点O（0，0），A（1，1），l₂与图象相切于点P时，H（a，b）的最小值=$\frac{1}{2}$d．求出即可得出．

解答 解：如图所示
我们研究平行直线系与函数f（x）=x²（0≤x≤1）图象的关系，
其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线l₁与l₂之间，图象上的个别点在直线上．
设两条平行直线l₁与l₂之间的距离为d．
我们发现只有l₁经过点O（0，0），A（1，1），l₂与图象相切于点P时，
H（a，b）的最小值=$\frac{1}{2}$d．
设P$（{x}_{0}，{x}_{0}^{2}）$，f′（x）=2x．
∵k_OA=1，∴2x₀=1，解得x₀=$\frac{1}{2}$．
∴P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$，
直线OA的方程为：y=x．
∴d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴H（a，b）的最小值=$\frac{1}{2}$d=$\frac{\sqrt{2}}{16}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{16}$．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．