Question

13．已知O为坐标原点，P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0）上一点，过P作两条渐近线的平行线交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用待定系数法求出求出|OB|，P点到OB的距离，利用平行四边形OBPA的面积，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，
过P平行于OA：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OB方程：x-ay=0交点是B（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），
|OB|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$，P点到OB的距离是：d=$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∵平行四边形OAPB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴|OB|•d=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$•$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$\frac{|{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{a}$=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-{n}^{2}=1$，∴$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
即m²-a²n²=a²，代入得$\frac{{a}^{2}}{a}=\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，∴c=2，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据平行四边形的面积公式建立方程关系求出a是解决本题的关键．