题目内容

5．已知函数f（x）=-x3+ax2-x-2在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）B．（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）C．（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）D．[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]

分析 先求函数的导数，因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．

解答 解：f（x）=-x3+ax2-x-2的导数为f′（x）=-3x2+2ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x2+2ax-1≤0恒成立，∴△=4a2-12≤0，解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
∴实数a的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
故选：D．

点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．

练习册系列答案
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