Question

3．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$的值为2．

Answer 1

分析 由已知画出图形，把$\overrightarrow{AM}、\overrightarrow{MB}$都用$\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CA}$表示，展开后代入数量积公式求值．

解答 解：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，且$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，

∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$=$（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}）•（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}）$=$（-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）$
=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）$=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$
=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|cos60°+\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\frac{2}{9}×9-\frac{1}{2}×3×3×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×{3}^{2}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量基本定理的应用，是中档题．