Question

15．已知在数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{3}$，且S_n=n（2n-1）a_n．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，可求得a₂，再由a₂的值求a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（Ⅱ）猜想检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（Ⅰ）当n=2时，a₁+a₂=6a₂，解得a₂=$\frac{1}{15}$；
当n=3时，a₁+a₂+a₃=15a₃，解得a₃=$\frac{1}{35}$；
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=28a₄，解得a₄=$\frac{1}{63}$．
（Ⅱ）∴a₁=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1×3}$，a₂=$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{3×5}$，a₃=$\frac{1}{35}$=$\frac{1}{5×7}$，a₄=$\frac{1}{63}$=$\frac{1}{7×9}$，
故猜想a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由已知显然成立
②设当n=k时，结论成立，即a_k=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$
当n=k+1时，∵S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，…（﹡）
又S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）•$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$代入（﹡）式得$\frac{k}{2k+1}$+a_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，
解得a_k+1=$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$，由以上归纳证明可知猜想成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．