Question

设M?N^*，正项数列{a_n}的前项积为T_n，且?k∈M，当n＞k时，

Tn+kTn-k

=T_nT_k都成立．
（1）若M={1}，a₁=

3

，a₂=3

3

，求数列{a_n}的前n项和；
（2）若M={3，4}，a₁=

2

，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件M={1}，a₁=

3

，a₂=3

3

，求出数列数列的公比，即可求数列{a_n}的前n项和；
（2）根据条件M={3，4}，a₁=

2

，判定数列为等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）当n≥2时，因为M={1}，所以

Tn+1Tn-1

=T_nT₁，可得a_n+1=a_na₁，故

an+1

an

=a₁=3（n≥2）．
又a₁=

3

，a₂=3

3

，则{a_n}是公比为3的等比数列，
故{a_n}的前n项和为

3 (1-3n)

1-3

=

3

2

•3ⁿ-

3

2

．
（2）当n＞k时，因为

Tn+kTn-k

=T_nT_k，所以

Tn+1+kTn+1-k

=T_n+1T_k，
所以

Tn+kTn-k

Tn+1+kTn+1-k

=

TnTk

Tn+1Tk

，即

an+1+kan+1-k

=a_n+1，
因为M={3，4}，所以取k=3，当n＞3时，有a_n+4a_n-2=a_n+1²；
取k=4，当n＞4时，有a_n+5a_n-3=a_n+1²．
由a_n+5a_n-3=a_n+1² 知，
数列a₂，a₆，a₁₀，a₁₄，a₁₈，a₂₂，…，a_4n-2，…，是等比数列，设公比为q．…①
由a_n+4a_n-2=a_n+1 知，
数列a₂，a₅，a₈，a₁₁，a₁₄，a₁₇，…，a_3n-1，…，是等比数列，设公比为q₁，…②
数列a₃，a₆，a₉，a₁₂，a₁₅，a₁₈，…，a_3n，…，成等比数列，设公比为q₂，…③
数列a₄，a₇，a₁₀，a₁₃，a₁₆，a₁₉，a₂₂，…，a_3n+1，…，成等比数列，设公比为q₃，…④
由①②得，

a14

a2

=q³，且

a14

a2

=q₁⁴，所以q₁=q 

3

4

；
由①③得，

a18

a6

=q³，且

a18

a6

=q₂⁴，所以q₂=q 

3

4

；
由①④得，

a22

a10

=q³，且

a22

a10

=q₃⁴，所以q₃=q 

3

4

；
所以q₁=q₂=q₃=q 

3

4

．
由①③得，a₆=a₂q，a₆=a₃q₂，所以

a3

a2

=

q

q2

=q 

1

4

，
由①④得，a₁₀=a₂q²，a₁₀=a₄q₃²，所以

a4

a2

=

q2

q 2 3

=q

1

2

，
所以a₂，a₃，a₄是公比为q 

1

4

的等比数列，所以{a_n}（n≥2）是公比为q 

1

4

的等比数列．
因为当n=4，k=3时，T₇T₁=T₄²T₃²；
当n=5，k=4时，T₉T₁=T₅²T₄²，
所以（q 

1

4

）⁷=2a₂⁴，且（q 

1

4

）¹⁰=2a₂⁶，所以q 

1

4

=2，a₂=2

2

．
又a₁=

2

，所以{a_n}（n∈N*）是公比为q 

1

4

的等比数列．
故数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1•

2

．

点评：本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．综合性较强，难度较大．