Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是$a，b，c，\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简，结合余弦定理，可得角C大小．
（2）三角形中线长定理，余弦定理化简后，结合基本不等式可得ab的最大值，即可求△ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$，
由正弦定理化简：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{bsinC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
由余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinC$，
即$tanC=\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π．
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）由三角形中线长定理得：2（a²+b²）=2²+c²=4+c²，
由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，
消去c²得：$4-ab={a^2}+{b^2}≥2ab，ab≤\frac{4}{3}$（当且仅当a=b时，等号成立），
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．