题目内容
19．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．（I）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（II）判断函数的奇偶性，并加以证明．
分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
解答 解：（1）证明：设x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{{x}_{1}}$+x1-（$\frac{1}{{x}_{2}}$+x2）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$+（x1-x2）=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
则函数f（x）在（0，1）上的单调递减．
（2）函数的定义域为{x|x≠0}，
则f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．
点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．
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