Question

【题目】已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数．当x∈(－2，0)时，f(x)＝－loga(－x)－loga(2＋x)，其中a>1.

（1）求函数f(x)的零点．

（2）若t∈(0，2)，判断函数f(x)在区间(0，t]上是否有最大值和最小值．若有，请求出最大值和最小值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）函数f(x)的零点为－1，0，1；（2）f(x)有最大值，无最小值，理由见解析.

【解析】

(1)由奇函数在零点有意义则,然后在上解方程,最后利用奇函数对称性即可求出函数的零点.

(2)由奇函数的性质求出函数解析式,然后分别讨论,和时,函数在上的最值.

（1）令－loga(－x)－loga(2＋x)＝0,即,

则,解得x＝－1.

由题意f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数,∴,,

∴f(x)＝0解集为{－1,0,1},故函数f(x)的零点为－1,0,1.

（2）∵f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数,

∴

当0<t≤1时,f(x)＝logax(2－x)在区间(0，t]上单调递增,

∴f(x)有最大值,f(x)max＝f(t)＝logat(2－t),无最小值,

当1<t<2时,f(x)＝logax(2－x)在区间(0,1]上单调递增,在区间(1，t]上单调递减,∴f(x)有最大值,f(x)max＝f(1)＝0,无最小值.