Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x是偶函数
（1）求m、n的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x是偶函数，构造关于m、n的方程组，解方程组可得m、n的值；
（2）利用导数法，分析函数y=f（x）在区间[-1，2]上的单调性，进而可得函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），
∴-1+m-n-2=-6，即m-n+3=0…①，
又由g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n是偶函数，
故2m+6=0…②
由①②得，m=-3，n=0
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²-2，
故f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，故y=f（x）在区间[-1，0）上递增，
当x∈（0，2]时，f′（x）≤0，故y=f（x）在区间（0，2]上递减，
又由f（-1）=-6，f（2）=-6，
故函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最小值为-6

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数与函数的综合应用，难度不大，属于基础题．