题目内容

函数f（x）=（0＜x＜1）的反函数为f-1（x），数列{an}和{bn}满足：，an+1=f-1（an），函数y=f-1（x），的图象在点（n，f-1（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{-}的项中仅-最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f-1（x）+f（x）]-，0＜x＜1．数列{xn}满足：x1=，0＜xn＜1且xn+1=g（xn）（其中n∈N*）．证明：++…+＜．
【答案】分析：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．所以函数f（x）的反函数．由，得由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为，令x=0得．由此能求出λ的取值范围．
（3）．所以，由0＜xn＜1，知xn+1＞xn．．由此入手能够证明：++…+＜．
解答：解：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函数f（x）的反函数．
则，得．∴是以2为首项，1为公差的等差数列，故．
（2）∵，∴，∴y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为，令x=0得．
∴．
∵仅当n=5时取得最小值，∴．
∴λ的取值范围为（9，11）．
（3）．
所以，又因0＜xn＜1，则xn+1＞xn．显然．
∴
∴=∵，
∴，∴∴．
点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=sin（x-
π
2
）（x∈R），下面结论错误的是（　　）
A、函数f（x）的最小正周期为2π
B、函数f（x）在区间[0，
π
2
]上是增函数
C、函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D、函数f（x）是奇函数
已知函数f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解；
（Ⅲ）若x0是方程f（x）=3的一个实数解，且x0∈（k，k+1），求整数k的值．
已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈(0，
3
2
)时，f（x）=ln（x2-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　）
已知函数f(x)=
12
x2+ax+2blnx
（1）若b=1时，函数f（x）在（0，1）上不单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数在（0，m）和（n，+∞）上为增函数，在（m，n）上为减函数（其中0＜m＜1，1＜n＜2）．求b-a的取值范围．
已知向量
a
=（2sinx，
3
cosx），
b
=（sinx，2sinx），函数f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的值域．

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