题目内容
已知函数f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解；
（Ⅲ）若x0是方程f（x）=3的一个实数解，且x0∈（k，k+1），求整数k的值．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解；
（Ⅲ）若x0是方程f（x）=3的一个实数解，且x0∈（k，k+1），求整数k的值．
分析：（Ⅰ）证明：设0＜x1＜x2，证明f（x1）-f（x2）＜0即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（1）g（10）=（-2）×8＜0，利用函数零点的判定定理即可得出方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．即可得出函数g（x0有唯一的零点x0∈（2，3）．可得k．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（1）g（10）=（-2）×8＜0，利用函数零点的判定定理即可得出方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．即可得出函数g（x0有唯一的零点x0∈（2，3）．可得k．
解答：（Ⅰ）证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x1+lgx1-（x2+lgx2）=(x1-x2)+lg
．
∵设0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，ln
＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的图象在（1，10）是不间断的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．
∴函数g（x0有唯一的零点x0∈（2，3）．
故k=2．
| x1 |
| x2 |
∵设0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，ln
| x1 |
| x2 |
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的图象在（1，10）是不间断的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．
∴函数g（x0有唯一的零点x0∈（2，3）．
故k=2．
点评：熟练掌握函数单调性的定义、函数零点的判定定理等是解题的关键．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|