题目内容

已知向量
a
=（2sinx，
3
cosx），
b
=（sinx，2sinx），函数f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的值域．
分析：（1）由数量积的定义和三角函数的运算可得f（x）=1+2sin（2x-
π
6
），由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，可得单调递增区间；
（2）由x的范围，可得2x-
π
6
的范围，进而可得sin（2x-
π
6
）的范围，可得函数的值域．
解答：解：（1）由题意可得f（x）=
a
•
b
=2sinx•sinx+
3
cosx•2sinx
=2sin2x+2
3
sinxcosx=1-cos2x+
3
sin2x
=1+2sin（2x-
π
6
），
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，可得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]，k∈Z
（2）由（1）知f（x）=1+2sin（2x-
π
6
），
∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x-
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，
∴sin（2x-
π
6
）∈[-
1
2
，1]，
∴f（x）=1+2sin（2x-
π
6
）∈[0，3]
故函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的值域为：[0，3]
点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的运算和正弦函数的单调性．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（
3
cosx，2cosx），定义函数f（x）=
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）当x∈[-
7π
12
，
5π
12
]时，求函数f（x）的单调增区间．
已知向量
a
=（2sinx，
3
cosx），
b
=（sinx，2sinx），函数f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，
π
2
]都成立，求实数m的最大值．
已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（cosx，2cosx），函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在区间[
π
4
，
3π
4
]上的最大值和最小值．
（2005•东城区一模）已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（
3
cosx，2cosx），定义函数f（x）=
a
•
b
-1．求：
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函数f（x）的单调减区间．

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