Question

14．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：

	非优良	优良	总计
未设立自习室	25	15	40
设立自习室	10	30	40
总计	35	45	80

（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由2×2列联表，计算K²，对照临界值表得出结论；
（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，
利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值．

解答 解：（1）由2×2列联表，计算K²的观测值为
k=$\frac{80{×（25×30-15×10）}^{2}}{40×40×35×45}$=$\frac{80}{7}$＞7.879，
对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，
认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）根据分层抽样原理，
从第一次月考数学优良成绩中抽取$\frac{15}{25}$×5=3个，记为A、B、C；
从第二次月考数学优良成绩中抽取$\frac{10}{25}$×5=2个，记为d、e；
则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是
AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，
其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有
AB、AC、BC、de共4个，
故所求的概率为P=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．