Question

3．若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10^x=2，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln（x+2）-\frac{a+b}{2}，x≤0}\\{{x}^{2}-2，x＞0}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）=x解的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据y=lgx与y=10^x的对称关系得a+b=2，做出y=f（x）和y=x的函数图象，根据图象判断方程解的个数．

解答 解：由题意可得：2-a=lga，2-b=10^b，
做出y=lgx，y=2-x，y=10^x的函数图象如图所示：

∵y=lgx与y=10^x互为反函数，
∴y=lgx与y=10^x的函数图象关于直线y=x对称，
又直线y=2-x与直线y=x垂直，交点坐标为（1，1），
∴a+b=2，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln（x+2）-1，x≤0}\\{{x}^{2}-2，x＞0}\end{array}\right.$，
做出y=f（x）与y=x的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）的图象与直线y=x有两个交点，
∴f（x）=x有两个解．
故选B．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系，利用反函数的性质求出a+b=2，以及作出对应函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．