题目内容
α，β，γ∈（0，
），且cos2α+cos2β+cos2γ=1，则tanαtanβtanγ的最小值为 ．
| π |
| 2 |
考点：三角函数的最值
专题：三角函数的求值
分析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1想到一个数学模型即三个角可看作是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱的所成的角，设出长方体的三条棱，然后根据三角函数的定义表示出tanαtanβtanγ，利用基本不等式可求出它的最小值．
解答：
解：由cos2α+cos2β+cos2γ=1联想到锐角α、β、γ是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，
记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c，
则tanαtanβtanγ=
•
•
≥
•
•
=2
，
当且仅当a=b=c时，等号成立．
所以tanαtanβtanγ的最小值为2
．
故答案为：2
．
记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c，
则tanαtanβtanγ=
| ||
| a |
| ||
| b |
| ||
| c |
| ||
| a |
| ||
| b |
| ||
| c |
| 2 |
当且仅当a=b=c时，等号成立．
所以tanαtanβtanγ的最小值为2
| 2 |
故答案为：2
| 2 |
点评：本题考查了利用现有的数学模型即长方体的对角线与棱所成的角来解决实际问题，同时要会用基本不等式求最值，能否想到这个数学模型是解题的关键也是一个难点，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b?（0，+∞），若命题p：a2+b2＜1，命题q：ab+1≤a+b，则p是￢q的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
cos390°=（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、-
|
i是虚数单位，
+i=（ ）
| 1 |
| 1+i |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
集合A={x|2＜x＜7}，B={x|3≤x＜10}，A∩B=（ ）
| A、（2，10） |
| B、[3，7） |
| C、（2，3] |
| D、（7，10） |