Question

9．O为坐标原点，已知向量$\overrightarrow{OA}=（{1，5}），\overrightarrow{OB}=（{4，-1}），\overrightarrow{OC}=（{6，8}），x，y$为非负数实数，且0≤x+y≤1，$\overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}$，则$|{\overrightarrow{OD}}|$的最小值为$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如图所示，x，y非负数实数，且0≤x+y≤1，$\overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}$，则点D表示的区域为△ABC及其内部的点．
当OD⊥AB时，$|{\overrightarrow{OD}}|$取得最小值．

解答 解：如图所示，x，y非负数实数，且0≤x+y≤1，$\overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}$，
则点D表示的区域为△ABC及其内部的点．
当OD⊥AB时，$|{\overrightarrow{OD}}|$取得最小值，
由直线AB的方程为：y+1=$\frac{-1-5}{4-1}$（x-4），
化为：2x+y-7=0．
∴则$|{\overrightarrow{OD}}|$的最小值=$\frac{|0-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．