Question

12．有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点$\sqrt{2}$百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．
（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
（2）若要在△ABO区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1））要使小路的长度最短，只需AB最短即可．当OD⊥AB时，圆心距最长为OD，此时AB最短，利用圆的弦长公式即可求解．
（2）依题意，圆形广场内切于△ABO时，这块圆形广场的最大面积．
设△ABO的内切圆半径为r，则有$\frac{1}{2}（OB+OA+AB）×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$，
由弦长公式得AB=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，⇒${d}^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}（16-A{B}^{2}）}{4（AB+4）^{2}}=\frac{A{B}^{2}（4-AB）}{4（4+AB）}$．
令AB=x，则r²=f（x）=$\frac{{x}^{2}（4-x）}{4（4+x）}$，$f′（x）=\frac{-x（{x}^{2}+4x-16）}{2（x+4）^{2}}$；利用导数求解．

解答 解：（1）小路的长度l=OA+OB+AB=（400+AB）米，
要使小路的长度最短，只需AB最短即可．
当OD⊥AB时，圆心距d最长为OD，此时AB最短，
（AB）_min=2$\sqrt{{R}^{2}-O{D}^{2}}=100\sqrt{2}$×2=200$\sqrt{2}$米，
∴小路的最短长度为（4+2$\sqrt{2}$）（百米）．
（2）依题意，圆形广场内切于△ABO时，这块圆形广场的最大面积．
设△ABO的内切圆半径为r，
则有$\frac{1}{2}（OB+OA+AB）×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$，
由弦长公式得AB=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，⇒${d}^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}（16-A{B}^{2}）}{4（AB+4）^{2}}=\frac{A{B}^{2}（4-AB）}{4（4+AB）}$．
令AB=x，则r²=f（x）=$\frac{{x}^{2}（4-x）}{4（4+x）}$，$f′（x）=\frac{-x（{x}^{2}+4x-16）}{2（x+4）^{2}}$；
∵$0＜d≤\sqrt{2}$，∴x=AB=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$$∈[2\sqrt{2}，4]$．
∴$f′（x）=\frac{-x（{x}^{2}+4x-16）}{2（x+4）}＜0$，∴$f（x）_{max}=f（2\sqrt{2}）$=6-4$\sqrt{2}$．
这块圆形广场的最大面积s=πr²=（6-4$\sqrt{2}$）π（百米²）

点评 本题考查了圆的性质，解三角形、弦长公式，函数的最值，属于中档题．