Question

15．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 易求∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理可求BC，在△BCD中，由正弦定理可求sin∠BDC，再由∠BDC=θ+90°可得答案．

解答 解：∵∠CBD=45°，∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理，得BC=$\frac{100sin15°}{sin30°}$=50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
在△BCD中，由正弦定理，得$\frac{50（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{sin∠BDC}=\frac{50}{sin45°}$，
∴sin∠BDC=$\sqrt{3}$-1，即sin（θ+90°）=$\sqrt{3}$-1，
∴cosθ=$\sqrt{3}$-1，
故答案为$\sqrt{3}$-1．

点评 该题考查正弦定理在实际问题中的应用，属基础题，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键．