Question

18．如图，BD⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD
（Ⅱ）求点A到面CDE的距离；
（III）求二面角C-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，证明EF∥AG，AG⊥平面BCD，即可证明：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OH}$所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，利用向量方法求点A到面CDE的距离；
（III）利用向量的夹角公式求二面角C-DE-A的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取BC中点G点，连接AG，FG，∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AG，
∵G为 BC中点，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：取AB的中点O和DE的中点H，分别以$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OH}$所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），
E（0，-1，1），A（0，-1，0），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{ED}$=（0，2，1）．
设面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1）
点A到面CDE的距离d=$\frac{2}{\sqrt{3+1+4}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（III）解：取面ABDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
由cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+4}×1}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，（9分）
故二面角C-DE-A的余弦值大小为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查向量方法的运用，属于中档题．