Question

20．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M和N分别是B₁D₁和B₁C₁的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM和CN所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），M（1，1，2），C（0，2，0），N（1，2，2），
$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{CN}$=（1，0，2），
设异面直线AM和CN所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线AM和CN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．