Question

2．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为15°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 当A，B，O，C四点共面时，|OA|最大，过D作平面ABOC的垂线DN，则垂足为△ABC的中心，求出N到平面α的距离d，则直线CD与平面α所成角的正弦值为$\frac{d}{CD}$．

解答 解：当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点O的距离最大．
此时平面ABOC⊥平面α，过D作DN⊥平面ABOC，垂足为N，
则N为正三角形ABC的中心．
设正四面体的边长为1，则CN=$\frac{2}{3}$CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠BCO=15°，∠BCP=30°，∴∠OCN=45°，
∴N到平面α的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
过D作DM⊥平面α，垂足为M，则DM=d=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴直线CD与平面α所成角的正弦值为$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$

点评 本题考查了线面角的计算，常见几何体的结构特征，属于中档题．