Question

13．某公司采用众筹的方式募集资金，开发一种创新科技产品，为了解募集的资金x（单位：万元）与收益率y之间的关系，对近6个季度众筹到的资金x_i和收益率y_i的数据进行统计，得到数据表：

x	2.00	2.20	2.60	3.20	3.40	4.00
y	0.22	0.20	0.30	0.48	0.56	0.60

（Ⅰ）通过绘制并观察散点图的分布特征后，分别选用y=a+bx与y=c+dlgx作为众筹到的资金x与收益率y的拟合方式，再经过计算，得到这两种拟合方式的回归方程y=0.34+0.02x，y=-0.27+1.47lgx和如表的统计数值，试运用相关指数比较以上两回归方程的拟合效果：

$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$	y=a+bx	y=c+dlgx
	$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}$
0.15	0.13	0.01

（Ⅱ）根据以上拟合效果较好的回归方程，解答：
（i）预测众筹资金为5万元时的收益率．（精确到0.0001）
（ii）若众筹资金服从正态分布N（μ，σ²），试求收益率在75.75%以上的概率．
附：（1）相关指数R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．
（2）若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974；
（3）参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式求出相关指数，即可得出结论；
（Ⅱ）（i）当x=5时，y=-0.27+1.47lg5≈0.7575；
（ii）收益率在75.75%以上，得出x＞5，利用P（X＞5）=$\frac{1}{2}$[1-P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）]=0.0013，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知，对于方程y=0.34+0.02x，相关指数R²=1-$\frac{0.13}{0.15}$≈0.133；
对于方程y=-0.27+1.47lgx，相关指数R²=1-$\frac{0.01}{0.15}$≈0.933＞0.133，
∴y=-0.27+1.47lgx的拟合效果好；
（Ⅱ）（i）当x=5时，y=-0.27+1.47lg5≈0.7575；
（ii）6个季度的众筹到资金的平均数$\overline{x}$=2.9，方差S²=$\frac{1}{6}$[（2-2.9）²+（2.2-2.9）²+（2.6-2.9）²+（3.2-2.9）²+（3.4-2.9）²+（4-2.9）²]=0.49．
由正态分布得μ=2.9，σ=0.7
令y＞0.7575，得-0.27+1.47lgx＞0.7575，解得x＞5，
又μ+3σ=5，且P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，
∴P（X＞5）=$\frac{1}{2}$[1-P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）]=0.0013．
∴收益率在75.75%以上的概率等于0.0013．

点评 本题考查概率的计算，考查正态分布，考查学生的计算能力，属于中档题．