Question

12．若两个正实数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，且不等式x+$\frac{y}{4}$＜m²-3m有解，则实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 不等式x+$\frac{y}{4}$＜m²-3m有解，即为m²-3m大于x+$\frac{y}{4}$的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．

解答 解：正实数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，
则x+$\frac{y}{4}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+$\frac{y}{4}$）=2+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{4x}$≥2+2$\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{y}{4x}}$=4，
当且仅当y=4x=8，x+$\frac{y}{4}$取得最小值4．
由x+$\frac{y}{4}$＜m²-3m有解，可得m²-3m＞4，
解得m＞4或m＜-1．
故答案为：（-∞，-1）∪（4，+∞）．

点评 本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和一小题．