设X是一个非空集合.τ是X的若干个子集组成的集合.若满足:①∅∈τ.X∈τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是X的拓扑．设X={a.b.c}.对于下面给出的集合τ:(1)τ={∅.{a}.{b}.{a.c}.{a.b.c}}, (2)τ={∅.{a}.{c}.{a.c}.{a.b.c}},(3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设X是一个非空集合，τ是X的若干个子集组成的集合，若满足：①∅∈τ，X∈τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是X的拓扑．设X={a，b，c}，对于下面给出的集合τ：
（1）τ={∅，{a}，{b}，{a，c}，{a，b，c}}；
（2）τ={∅，{a}，{c}，{a，c}，{a，b，c}}；
（3）τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}}；
（4）τ={∅，{a}，{a，b}，{b，c}，{a，b，c}}
则τ是集合X的拓扑的个数是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

考点：进行简单的合情推理

专题：集合

分析：根据拓扑的定义，结合元素和集合的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当τ={∅，{a}，{b}，{a，c}，{a，b，c}}时，{a}∪{b}={a，b}∉τ，故（1）不是集合X上的拓扑的集合τ；
（2）当τ={∅，{a}，{c}，{a，c}，{a，b，c}}时，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此（2）是集合X上的拓扑的集合τ；
（3）当τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}}时，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此（3）是集合X上的拓扑的集合τ；
（4）当τ={∅，{a}，{a，b}，{b，c}，{a，b，c}}时，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此（4）是集合X上的拓扑的集合τ；
故τ是集合X的拓扑的个数是3个，
故选：C

点评：本题主要考查元素和集合关系的判断，正确理解拓扑的定义是解决本题的关键．