Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，N为线段PC上一点，CN=3NP，M为AD的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求点N到平面 PAB的距离．

Answer 1

分析 （1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，推导出四边形AMNE是平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAB．
（2）连接AC，推导出AC⊥AB，PA⊥AC，从而AC⊥平面PAB，由此能求出N点到平面PAB的距离．

解答 证明：（1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，
∵CN=3NP，∴EN∥BC且EN=$\frac{1}{4}$BC，
又∵AD∥BC，BC=2AD=4，M为AD的中点，
∴AM∥BC且AM=$\frac{1}{4}$BC，
∴EN∥AM且EN=AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，
又∵MN?平面PAB，AE?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．…（6分）
解：（2）连接AC，在梯形ABCD中，
由BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，得AB=2，
∴AC=2$\sqrt{3}$，AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．
又∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．
又∵CN=3NP，
∴N点到平面PAB的距离d=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．