Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（1）求k的取值范围；
（2）求AB中点的轨迹方程；
（3）以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在常数k，使得直线OD与PQ平行？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入圆x²+y²-12x+32=0，利用点差法能求出AB中点的轨迹方程．
（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x₁+x₂的表达式，根据直线方程可求得y₁+y₂的表达式，进而根据直线OD与PQ平行可推知（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．

解答： 解：（1）圆的方程可写成（x-6）²+y²=4，
所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
代入圆方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于：
△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范围为（-

3

4

，0）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入圆x²+y²-12x+32=0，得：

x12+y12-12x1+32=0 x22+y22-12x2+32=0

，
两式相减，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）-12（x₁-x₂）=0，
∴（2x-12）（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

6-x

y

，
又∵直线AB过M（x，y），P（0，2），∴k=

y-2

x

，
∴中点M的轨迹方程为

6-x

y

=

y-2

x

，整理，得：x²+y²-6x-2y=0．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OD

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由方程①，x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4． ③
而P（0，2），Q（6，0），

PQ

=（6，-2）．
∵直线OD与PQ平行，∴（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），
将②③代入上式，解得k=-

3

4

．
∵k的取值范围为（-

3

4

，0），∴没有符合题意的常数k．
故存在常数k，使得直线OD与PQ平行．

点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解，是中档题．