Question

【题目】已知点在抛物线：的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.

（1）证明：为定值；

（2）当点在轴上时，过点作直线，交抛物线于，两点，满足.问：直线是否恒过定点，若存在定点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）直线过定点 .

【解析】

(1) 求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则，是方程x2﹣2ax﹣4＝0的两个根，则由韦达定理求得的值，即可求证为定值；

(2) 设，.利用点差法可得，同理可得，

结合垂直关系可得，又因为，两式作差，可得，，从而可得结果.

解：（1）法1：抛物线：的准线为：，故可设点，

由，得，所以.所以直线的斜率为.

因为点和在抛物线上，所以，.

所以直线的方程为.

因为点在直线上，

所以，即.

同理，.

所以，是方程的两个根，所以.

又，所以为定值.

法2：设过点且与抛物线相切的切线方程为，

由，消去得，

由，化简得，所以.

由，得，所以.

所以直线的斜率为，直线的斜率为.

所以，即.

又，

所以为定值.

（2）存在，由（1）知.

不妨设，则，，即，.

设，.

则，两式作差，可得，

所以直线的斜率为，同理可得，

因为，所以，

整理得，①

又因为，两式作差，可得，

从而可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，

化简可得，

将①代入上式得，

整理得.

所以直线过定点，即点的坐标为.