题目内容
【题目】已知椭圆的左顶点为
,离心率为
,过点
且斜率为
的直线
与椭圆交于点
与
轴交于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点为
的中点.
(i)若轴上存在点
,对于任意的
,都有
(
为原点),求出点
的坐标;
(ii)射线(
为原点)与椭圆
交于点
,满足
,求正数
的值.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)(i)见解析; (ii)
.
【解析】
(I)根据椭圆的左顶点为,离心率为
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
,即可得结果;(Ⅱ)(i)假设
轴上存在着点
使得
,设
,与椭圆方程联立,求得
,利用斜率公式,结合
可求得
;(ii)设
所在直线方程为
,与椭圆方程联立,利用弦长公式、点到直线距离公式结合韦达定理求出
,再由
可得
,解方程即可得结果.
(I)由已知得又
椭圆方程为:
,
(II) (i)假设轴上存在着点
使得
,
设所在的直线方程为:
,点
由解得
,
,
,
,
,
,
,
解得
轴上存在着点
使得
成立,
(ii)设所在直线方程为
,则
,
到直线
的距离:
,
即,
,
解得,
.
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