Question

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-

3

y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列．
①求点P轨迹
②求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意可知圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．
（2）①根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，可得点P轨迹；
②由点P在圆内可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化简

PA

•

PB

=2（y²-1），从而求

PA

•

PB

的取值范围．

解答： 解：（1）半径r=

|0-0-4|

1+3

=2，故圆O的方程为 x²+y²=4．
（2）①圆O与x轴相交于A（-2，0）、B（2，0）两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴|PA|•|PB|=|PO|² ，设点P（x，y），
则有

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，化简可得x²-y²=2，
∴点P轨迹是双曲线．
②由点P在圆内可得x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
∴

PA

•

PB

的取值范围是[-2，0）．

点评：本题考查向量的取值范围问题，涉及到直线与圆的位置关系，以及等比数列问题．通过圆内任意点坐标满足的两个关系最终确定向量的取值范围，属于中档题．