Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，一个焦点为（$\sqrt{5}$，0），则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，结合双曲线的标准方程分析可得$\frac{b}{a}$=2，即b=2a，又由其焦点的坐标可得c²=b²+a²=5，联立解可得a、b的值，进而可得c的值，由离心率计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其焦点在x轴上，
则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为2x+y=0，
则有$\frac{b}{a}$=2，即b=2a，
又由其一个焦点为（$\sqrt{5}$，0），则有c²=b²+a²=5，
解可得a=1，b=2；
故c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是利用待定系数法求出双曲线的标准方程．