Question

15．已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）设等差数列{b_n}中，b₂=a₂，b₉=a₅，求数列{b_n}的通项公式b_n与前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列前n项和公式求出公比q，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．
（2）先求出b₂=4，b₉=32，再利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出数列{b_n}的通项公式b_n与前n项和S_n．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=2，a₄=16，∴16=2q³，解得q=2，
∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$．
（2）由（1）得b₂=a₂=4，b₉=a₅=32，
设等差数列{b_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+d=4}\\{{b}_{1}+8d=32}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=0}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴b_n=4n-4，
∴${S}_{n}={b}_{1}n+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-2n．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．