Question

【题目】已知抛物线，直线与E交于A、B两点，且，其中O为原点.

（1）求抛物线E的方程；

（2）点C坐标为，记直线CA、CB的斜率分别为，证明： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】试题分析：（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可

试题解析：（Ⅰ）将代入 ，得．

其中

设， ，则， ．

．

由已知，，．所以抛物线的方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，．

，同理，

所以．