Question

设关于x的方程2^x+2-4^x-b=0．
（Ⅰ） 如果b=1，求实数x的值；
（Ⅱ） 如果2^x≤16且log₂x≥0，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的零点

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当b=1时，可表示出方程，看成2^x的二次方程后配方，可解得答案；
（Ⅱ）方程2^x+2-4^x-b=0可化为b=2^x+2-4^x，令t=2^x，则2^x+2-4^x可化为t的二次函数，由2^x≤16且log₂x≥0可得x的范围，进而可得t的范围，利用二次函数的性质可求得该二次函数的值域，即得b的范围；

解答： 解：（Ⅰ） 当b=1时，则：2^x+2-4^x-1=0，
∴（2^x-2）²=3，
∴2x=2±

3

，
解得x=log2(2±

3

)．　　　    　　        　             
（Ⅱ）∵2^x+2-4^x-b=0，∴b=2^x+2-4^x，
令t=2^x，∵2^x≤16且log₂x≥0，∴1≤x≤4，
∴t∈[2，16]，又2^x+2-4^x=-（t-2）²+4，
∴t=2时，-（t-2）²+4取得最大值4；当t=16时，-（t-2）²+4取得最小值-192，即2^x+2-4^x∈[-192，16]，
故实数b的取值范围为[-192，16]．

点评：本题考查指数、对数不等式的求解，考查解指数方程，考查换元法解决问题中的应用．