Question

12．已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得它的周期．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由表格可得A=2，$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2，结合五点法作图可得2•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅲ）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
即函数f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．