Question

6．已知数列{a_n}满足：$a_n^2={a_{n-1}}•{a_{n+1}}（n≥2）$且a₂+2a₁=4，$a_3^2={a_5}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意知，数列{a_n}为等比数列，再由a₂+2a₁=4，$a_3^2={a_5}$．可求数列{a_n}的首项与公比，从而可得其通项公式；
（2）由b_n=na_n，即${b_n}=n{a_n}=n•{2^n}$，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 （本题满分12分）
（1）数列{a_n}满足：$a_n^2={a_{n-1}}•{a_{n+1}}（n≥2）$，故数列{a_n}为等比数列，
设${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，${a_3}^2={a_5}$可化为${a_1}^2{q^4}={a_1}{q^4}$，
得a₁=1，a₂=4-2a₁=2，$q=\frac{a_2}{a_1}=2$，所以${a_n}={2^n}$…（4分）
（2）${b_n}=n{a_n}=n•{2^n}$，
${S_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$①
$2{S_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$②…（6分）
由①-②得$-{S_n}={2^1}+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$
即$-{S_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}$
故${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$…（12分）

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列的性质及通项公式的应用，突出考查错位相减法求和的运用，属于中档题．