Question

16．已知P是抛物线y²=4x上的一个动点，则点P到直线l₁：3x-4y+12=0和l₂：x+2=0的距离之和的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 x=-1是抛物线y²=4x的准线，则P到x+2=0的距离等于|PF|+1，抛物线y²=4x的焦点F（1，0）过P作l₁：3x-4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l₁：3x-4y+12=0的距离和到直线x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，即可得出结论．

解答 解：∵x=-1是抛物线y²=4x的准线，
∴P到x+2=0的距离等于|PF|+1，
∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
∴过P作l₁：3x-4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是P，
∴点P到直线l₁：3x-4y+12=0的距离和到直线x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线l₁：3x-4y+12=00距离，
∴P到直线l₁：4x-3y+6=0和l₂：x+2=0的距离之和的最小值是$\frac{|3-0+12|}{\sqrt{9+16}}$+1=3+1=4．
故选：D．

点评 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．