Question

17．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y²=4x的准线的一个交点的纵坐标为y₀，若|y₀|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （1，$\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，求出交点坐标，代入双曲线的渐近线方程，利用|y₀|＜2，即可求出双曲线的离心率的范围．

解答 解：抛物线y²=4x的准线为：x=-1，双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y²=4x的准线的一个交点（-1，y₀），可得：$\frac{1}{a}=\frac{{y}_{0}}{b}$，
即：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}={{y}_{0}}^{2}$，e²-1=y₀²．|y₀|＜2，
e²=1+y₀²∈[1，5），∵e＞1，
∴e∈（1，$\sqrt{5}$）．
故选：B．

点评 本题考查抛物线与双曲线的简单性质的综合应用，考查计算能力．