Question

18．已知0＜x＜1，0＜y＜1，
求证$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$+$\sqrt{{x^2}+{{（1-y）}^2}}$+$\sqrt{{{（1-x）}^2}+{y^2}}$+$\sqrt{{{（1-x）}^2}+{{（1-y）}^2}}$≥2$\sqrt{2}$，并求使等号成立的条件．

Answer 1

分析 依题意，作图如下，利用两点间的距离公式可知|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|PA|=$\sqrt{（1-x）^{2}+{y}^{2}}$，|PB|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，|PC|=$\sqrt{{x}^{2}+（1-y）^{2}}$，利用三角不等式可证|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2$\sqrt{2}$

解答 证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：
则|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|PA|=$\sqrt{（1-x）^{2}+{y}^{2}}$，|PB|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，|PC|=$\sqrt{{x}^{2}+（1-y）^{2}}$，
∵|PO|+|PB|≥|BO|=$\sqrt{2}$，|PA|+|PC|≥|AC|=$\sqrt{2}$
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2 （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），
即x=y=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（1-y）^{2}}$+$\sqrt{（1-x）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$$≥2\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查作图能力，突出考查两点间的距离公式的应用，属于中档题．