Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA_l=2，∠ABC=120°，点P在线段AC₁上，且AP=2PC_l，M为线段AC的中点．
（I）证明：BM∥平面B₁CP；
（Ⅱ）求直线AB₁与平面B₁CP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连结BC₁交B₁C于F，连结MC₁交CP于N，连结FN，证明FN为△BC₁M的中位线即可得出BM∥FN，于是结论得证；
（II）连结MF，过M作MG⊥CP于G点，连结FG，则可证明MG⊥平面B₁CP，由于AB₁∥MF，故而∠MFG为直线AB₁与平面B₁CP所成角，利用勾股定理求出FG，MF得出线面角的余弦值．

解答 证明：（I）连结BC₁交B₁C于F，连结MC₁交CP于N，连结FN，
∵四边形BCC₁B₁是矩形，∴F为BC₁的中点．
取AP的中点Q，连结MQ，
∵MQ是△APC的中位线，∴MQ∥PC，
又AP=2PC_l，∴$\frac{{C}_{1}P}{{C}_{1}Q}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{C}_{1}N}{{C}_{1}M}$=$\frac{{C}_{1}P}{{C}_{1}Q}=\frac{1}{2}$，即N为C₁M的中点．
∴FN为△C₁BM的中位线，
∴FN∥BM，又FN?平面B₁CP，BM?平面B₁CP，
∴BM∥平面B₁CP．
（II）连结MF，过M作MG⊥CP于G点，连结FG，
∵BM⊥AC，BM⊥CC₁，∴BM⊥平面ACC₁，
∵BM∥FN，∴FN⊥平面ACC₁．∴FN⊥MG．
又MG⊥PC，FN∩PC=N，
∴MG⊥平面B₁PC，
又AB₁∥MF，
∴∠MFG为直线AB₁与平面B₁CP所成角，
∵AB=BC=AA₁=2，∠ABC=120°，∴AB₁=2$\sqrt{2}$，CM=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$，
∴MF=$\sqrt{2}$，MG=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，∴FG=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴cos∠MFG=$\frac{FG}{MF}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
∴直线AB₁与平面B₁CP所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．