题目内容
（2007•杨浦区二模）如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值| S1 | S2 |
（1）试用a，θ表示S1和S2．
（2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
（3）（文）当a为定值，θ=150时，求“规划合理度”的值．
分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值
称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
（3）将θ=15°代入两面积的函数解析式，然后求出两面积的比值即可得到“规划合理度”的值．
（2）由比值
| S1 |
| S2 |
（3）将θ=15°代入两面积的函数解析式，然后求出两面积的比值即可得到“规划合理度”的值．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=
AB•AC=
a2sinθcosθ（3分）
设正方形的边长为x则 BP=
，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得
+xcosθ=acosθ，故 x=
所以 S2=x2=(
)2（6分）
（2）
=
•
=
=
+
sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因为 0＜θ＜
，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以
=
+
t+1=g(t)，g′(t)=-
+
＜0，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值 g(t)min=g(1)=
，
此时 sin2θ=1，θ=
所以当 θ=
时，“规划合理度”最小，最小值为
．（12分）
（3）θ=150时，S1=
a2sin30°=
a2，S2=(
)2=
，（12分）
所以，
=
（14分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设正方形的边长为x则 BP=
| x |
| sinθ |
由BP+AP=AB，得
| x |
| sinθ |
| asinθcosθ |
| 1+sinθcosθ |
所以 S2=x2=(
| asinθcosθ |
| 1+sinθcosθ |
（2）
| S1 |
| S2 |
| 1 |
| 2 |
| (1+sinθcosθ)2 |
| sinθcosθ |
(1+
| ||
| sin2θ |
| 1 |
| sin2θ |
| 1 |
| 4 |
令t=sin2θ，因为 0＜θ＜
| π |
| 2 |
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以
| S1 |
| S2 |
| 1 |
| t |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| t2 |
| 1 |
| 4 |
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值 g(t)min=g(1)=
| 9 |
| 4 |
此时 sin2θ=1，θ=
| π |
| 4 |
所以当 θ=
| π |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
（3）θ=150时，S1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| asin30° |
| 2+sin30° |
| a2 |
| 25 |
所以，
| S1 |
| S2 |
| 25 |
| 8 |
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，属于中档题．
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