Question

12．对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D?（-∞，1]．现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；
②对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅．
以上命题正确的是①③．

Answer 1

分析 由A*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②，对于①③需要利用集合间的关系去证明．

解答 解：由A*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．
①分别用A_max、A_min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．
由C⊆D及A^*的定义可知：C_max≤C*_min，D_max≤D*_min，C*_min≤D_max，
∴C*_min≤D*_min，∴必有D*⊆C*．故①正确．
②若设C=（-∞，1）=D，满足C⊆D，而C*={1}，此时C*∩D=∅，故②不正确．
③若设C=（-∞，0），D=（-∞，1），满足C⊆D，而D*=（0，1），此时C∩D*=∅，故③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查了新定义，理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．