Question

2．2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，Mobike  Lite型（Lite版）和经典版每30分钟收0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．有甲、乙、丙三人相互对立的到租车点租车骑行（各租一车一次）．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，三人租车时间都不会超过60分钟，甲、乙均租用Lite版单车，丙租用经典版单车．
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过30分钟还车．其概率P=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$．
（2）ξ的取值可能为1.5，2，2.5，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过30分钟还车．其概率P=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$．
（2）ξ的取值可能为1.5，2，2.5，3．
P（ξ=1.5）=$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{24}$，
P（ξ=2.5）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{6}{24}$，
P（ξ=3）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	1.5	2	2.5	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=1.5×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{11}{24}$+2.5×$\frac{6}{24}$+3×$\frac{1}{24}$=$\frac{49}{24}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列的概率数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．