Question

19．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B是边长为2的正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）求三棱锥A-B₁CC₁体积．

Answer 1

分析 （I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；
（II）直接利用体积公式求得三棱锥A-B₁CC₁体积．

解答 （Ⅰ）证明：由侧面ABB₁A₁为正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面ABB₁A₁，所以平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．…（4分）
（Ⅱ）解：由题意，三棱锥A-B₁CC₁体积=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键．