Question

定义运算：

.

a b c d

.

=ad-bc．
（1）若角α是△ABC的一个内角，且

.

sinα cosα -1 1

.

=

1

5

，请判断△ABC形状并求sinα-cosα的值；
（2）求f（x）=

.

cosx 4 msinx cosx

.

-3m（m∈R）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据给定的运算法则，结合三角函数公式进行求解；
（2）首先，化简函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．

解答： 解：（1）由

.

sinα cosα -1 1

.

=

1

5

，得
sinα+cosα=

1

5

，
上式两边平方，得
1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

＜0，①
∵角α是△ABC的一个内角，
∴0＜α＜π，
∴sinα＞0，结合①得
cosα＜0，
∴角α是钝角，
∴△ABC是钝角三角形，
∵sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1-(- 24 25 )

=

7

5

，
∴sinα-cosα的值

7

5

．
（2）f（x）=

.

cosx 4 msinx cosx

.

-3m=cos²x-4msinx-3m
=1-sin²x-4msinx-3m
=-sin²x-4msinx+1-3m
令sinx=t，t∈[-1，1]．
∴g（t）=-t²-4mt+1-3m=-（t-2m）²+1-3m-4m²
当2m≤-1时，即m≤-

1

2

，
g（t）_max=g（-1）=m，
当-1＜2m＜1时，即-

1

2

＜m＜

1

2

，
g（t）_max=g（2m）=1-3m-4m²，
当2m≥1时，即m≥

1

2

，
g（t）_max=g（1）=-7m，
∴f（x）=

.

cosx 4 msinx cosx

.

-3m（m∈R）的最大值：
h（m）=

m   ．m≤- 1 2 1-3m-4m2，  - 1 2 ＜m＜ 1 2 -7m      ，   m≥ 1 2

．

点评：本题重点考查了三角公式，三角恒等变换等公式，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．