Question

设函数f（x）=x²+alnx，则（　　）

• A、f（x）的单调递增区间为[

  - a 2

  ，+∞）
• B、f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立
• C、f（x）的图象与x轴至多一个交点
• D、若f（x）有极值点x₁，则f（x₁）≤1

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：a＞0时可求f（x）的单调区间是（0，+∞），排除A；取a=1，可得f（

1

e

）＜0，排除B；当a＜0时，求出极小值，当极小值小于0时f（x）的图象与x轴有两个交点，排除C．

解答： 解：f′（x）=2x+

a

x

=

2x2+a

x

，
当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上恒成立，排除A；
取a=1，f（

1

e

）=

1

e2

+ln

1

e

=

1

e2

-1＜0，排除B；
当a＜0时，f′（x）=

2(x+ - a 2 )(x- - a 2 )

x

，
当0＜x＜

- a 2

时，f′（x）＜0，当x＞

- a 2

时，f′（x）＞0，
∴x=-

- a 2

时f（x）取得极小值f（-

- a 2

）=-

a

2

+aln(

- a 2

)=-

a

2

+

a

2

ln（-

a

2

），
当f（-

- a 2

）＜0，即a＜-2e时，f（x）的图象与x轴有两个交点，排除C；
故选D．

点评：该题考查利用导数研究函数的极值、单调性及函数的零点，考查学生利用导数解决综合问题的能力．