Question

己知函数f（x）=lnx-e^x+a
（I）若x=1是，f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性
（Ⅱ）当a≥-2时，证明：f（x）＜0．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）求导函数，利用x=1是f（x）的极值点，求出a的值，再利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性
（Ⅱ）a≥-2时，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，只需证明g（x）=lnx-e^x-2＜0，求出g（x）_max＜0，即可得出结论．

解答： （I）解：∵f（x）=lnx-e^x+a，
∴f′（x）=

1

x

-e^x+a，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴1-e^1+a=0，
∴a=-1，
∴f′（x）=

1

x

-e^x-1，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）内单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明：当a≥-2时，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，
只需证明g（x）=lnx-e^x-2＜0
∵g′（x）=

1

x

-e^x-2，
由g′（x）=0得

1

x

=e^x-2，方程有唯一解x₀∈（1，2），
∴x∈（0，x₀）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，x₀）内单调递增，
x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（x₀，+∞）内单调递减，
∴g（x）_max=lnx₀-e^x₀-2=-x₀+2-

1

x0

∵x₀∈（1，2），
∴x₀+

1

x0

＞2，
∴g（x）_max＜0
综上，当a≥-2时，f（x）＜0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．