Question

正四棱锥P-ABCD中，侧面与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：解：连接AC、BD交于点O，连接PO，连接EO，由已知条件推导出∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，由此能求出异面直线PD与AE所成角的大小．

解答： 解：连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，
设F为AD中点，连FO、PF，
由题意知OF⊥AD，PF⊥AD，
∴∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角．
∴∠PFO=60°，
即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为60°
连接EO，由于O为BD中点，E为PB中点，
∴EO∥PD，EO=

1

2

PD，
∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，
不妨设底面正方形边长为1，DO=AO=

2

2

，PO=1
在Rt△POD中，PD=

OD2+PO2

=

5

2

，∴EO=

5

4

，
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．∴AO⊥EO
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=

2 10

5

，
∴异面直线PD与AE所成角为arctan

2 10

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．