Question

5．已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），则满足条件的最小的正实数a的值为（　　）

• A． 28
• B． 34
• C． 36
• D． 100

Answer 1

分析 取x∈（2^m，2^m+1），则 $\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；f（ $\frac{x}{{2}^{m}}$）=2-$\frac{2}{{2}^{m}}$，从而f（x）=2^m+1-x，根据f（2020）=f（a）进行化简，设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28求出a的取值范围．

解答 解：取x∈（2^m，2^m+1），则$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；f（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，从而
f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=…=2^mf（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…，
f（2020）=2¹⁰f（$\frac{2020}{1024}$）=2¹¹-2020=28=f（a），
设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28，
∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1），
即m≥5，a≥36，
∴满足条件的最小的正实数a是36．
故选：C．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．