Question

在直角梯形中ABCD中．AB∥CD，AB⊥BC，F为AB上的点，且BE=1，AD=AE=DC=2，将△ADE沿DE折叠到P点，使PC=PB．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BC的中点G，DE中点H，连结PG，GH，HP，由已知条件推导出BC⊥平面PGH，所以PH⊥BC，PH⊥DE，由此能证明平面PDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以HA，HE，HP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取BC的中点G，DE中点H，连结PG，GH，HP，
∵HG∥AB，AB⊥BC，∴HG⊥BC，
又∵PB=PC，∴PG⊥BC，
∴BC⊥平面PGH，∴PH⊥BC，
∵PD=PE，H为DE中点，PH⊥DE，
BC与DE不平行，∴PH⊥平面ABCD，
∵PH?平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：以HA，HE，HP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
H（0，0，0），A（

3

，0，0），E（0，1，0），
P（0，0，

3

），D（0，-1，0），
设平面PAD的法向量

n

=（x，y，z），
∵

DA

=(

3

，1，0)，

DP

=(0，1，

3

)，
∴

n • DA = 3 x+y=0 n • DP =y+ 3 z=0

，取x=1，得

n

=(1，-

3

，1)，
又平面DPE的法向量

m

=(1，0，0)，
∵cos＜

m

，

n

＞=

1

5

=

5

5

．
∴二面角A-PD-E的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．